数と表現

私たちが日常使っている数は0〜9の10種類の数字で表す10進数です。しかし、コンピュータの内部では電気信号の「ON / OFF」、つまり0と1の2種類だけで情報を扱います。この章では、コンピュータが数をどのように表現するかを学びます。

基数とn進数

数を表すときに使う数字の種類の数を基数（きすう）と呼びます。私たちが普段使う10進数は基数が10、コンピュータが使う2進数は基数が2です。

n進数	基数	使用する数字	主な用途
2進数	2	0, 1	コンピュータ内部のデータ表現
8進数	8	0〜7	ファイルのアクセス権限（Unix系OS）など
10進数	10	0〜9	日常生活の計算
16進数	16	0〜9, A〜F	メモリアドレス、カラーコード（#FF0000）など

16進数では、10〜15に対応する数字としてA〜Fのアルファベットを使います。

10進数	10	11	12	13	14	15
16進数	A	B	C	D	E	F

基数変換

異なるn進数の間で数を変換することを基数変換と呼びます。基数変換はITパスポート試験で非常に頻出のテーマです。

2進数 → 10進数

2進数の各桁は、右から順に2の0乗、2の1乗、2の2乗…の重みを持ちます。各桁の値に重みを掛けて合計すれば10進数に変換できます。

たとえば、2進数の 1011 を10進数に変換してみましょう。

桁の位置	左から1桁目	左から2桁目	左から3桁目	左から4桁目
桁の値	1	0	1	1
重み	2³ = 8	2² = 4	2¹ = 2	2⁰ = 1
桁の値 × 重み	8	0	2	1

8 + 0 + 2 + 1 = 11（10進数）

10進数 → 2進数

10進数を2で繰り返し割り、その余りを下から上に並べると2進数になります。

たとえば、10進数の 155 を2進数に変換してみましょう。

割り算	商	余り
155 ÷ 2	77	1 ← 最下位ビット
77 ÷ 2	38	1
38 ÷ 2	19	0
19 ÷ 2	9	1
9 ÷ 2	4	1
4 ÷ 2	2	0
2 ÷ 2	1	0
1 ÷ 2	0	1 ← 最上位ビット

余りを下から読むと 10011011 → 10進数の155は2進数で 10011011 です。

2進数 ↔ 16進数

2進数と16進数の変換は簡単です。2進数を4桁ずつ区切り、それぞれを16進数の1桁に対応させます。

2進数（4桁）	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111
16進数	0	1	2	3	4	5	6	7

2進数（4桁）	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
16進数	8	9	A	B	C	D	E	F

たとえば、2進数 10011011 を16進数に変換するには、右から4桁ずつ区切ります。

1001 1011 → 9 B → 9B（16進数）

逆に、16進数 9B を2進数にするには各桁を4桁の2進数に展開します。

9 → 1001、B → 1011 → 10011011（2進数）

2進数 ↔ 8進数

2進数を3桁ずつ区切り、それぞれを8進数の1桁に対応させます。

たとえば、2進数 10011011 を8進数に変換するには、右から3桁ずつ区切ります。

10 011 011 → 2 3 3 → 233（8進数）

試験で出るポイント

基数変換は計算問題として頻出です。特に「10進数 → 2進数」と「2進数 → 10進数」の変換手順を確実に身につけましょう。2進数と16進数の変換は「4桁ずつ区切る」、2進数と8進数の変換は「3桁ずつ区切る」と覚えておきましょう。

2進数の加算

2進数の加算（足し算）は、10進数と同じ筆算の要領で行いますが、1 + 1 = 10（繰り上がり）という点が異なります。

2進数の加算規則は次のとおりです。

計算	結果
0 + 0	0
0 + 1	1
1 + 0	1
1 + 1	10（0を書いて1を繰り上げ）
1 + 1 + 1	11（1を書いて1を繰り上げ）

たとえば、1011（10進数で11）+ 0110（10進数で6）を計算してみましょう。

    1 0 1 1
+   0 1 1 0
-----------
  1 0 0 0 1

結果は 10001（10進数で17）となり、11 + 6 = 17 と一致します。

2進数の減算と補数

2進数の減算（引き算）は、補数（ほすう）を使って加算に置き換える方法が重要です。コンピュータは内部的に減算を行う回路を持たず、補数を使った加算で代用しています。

2の補数

2の補数とは、ある2進数の各ビットを反転（0→1、1→0）し、その結果に1を加えたものです。ある数の2の補数は、その数の負の数を表します。

たとえば、4ビットで 0101（10進数で5）の2の補数を求めてみましょう。

各ビットを反転: 0101 → 1010
1を加える: 1010 + 0001 = 1011

1011 は4ビットの2の補数表現で −5 を意味します。

補数を使った減算

7 - 5 を2進数の補数で計算してみましょう。

7 の2進数表現: 0111
5 の2の補数: 1011（上で求めた −5）

    0 1 1 1   （7）
+   1 0 1 1   （−5）
-----------
  1 0 0 1 0

4ビットに収まる部分だけを取ると 0010（10進数で2）となり、7 − 5 = 2 と一致します。あふれた最上位の1（5桁目）は桁上がり（キャリー）として捨てます。

試験で出るポイント

2の補数の求め方（ビット反転 → +1）は必ず覚えましょう。「コンピュータが減算を加算で処理するために補数を使う」という仕組みが問われることがあります。

表現可能な数値の範囲

コンピュータで数値を表すには、あらかじめ使用するビット数（桁数）を決めておく必要があります。ビット数によって表現できる数の範囲が決まります。

符号なし整数

正の数だけを扱う場合、nビットで表現できる範囲は次のとおりです。

0 〜 2ⁿ − 1

ビット数	表現可能な範囲	値の個数
4ビット	0 〜 15	16通り
8ビット	0 〜 255	256通り
16ビット	0 〜 65,535	65,536通り

符号付き整数（2の補数表現）

負の数も扱う場合（最上位ビットを符号ビットとして使う）、nビットで表現できる範囲は次のとおりです。

−2ⁿ⁻¹ 〜 2ⁿ⁻¹ − 1

ビット数	表現可能な範囲	値の個数
4ビット	−8 〜 7	16通り
8ビット	−128 〜 127	256通り
16ビット	−32,768 〜 32,767	65,536通り

いずれの場合も、nビットで表現できる値の個数は 2ⁿ通り です。たとえば、RGB各色を3ビットで表現すると、1色あたり2³ = 8通りなので、全体では 8 × 8 × 8 = 512色を表現できます。

試験で出るポイント

nビットで表現できる情報量は 2ⁿ通り です。試験では「8桁のパスワードで使える文字が26種類のとき、組み合わせは何通りか」（答え: 26⁸通り）のように応用される形でも出題されます。符号なし整数の最大値（2ⁿ − 1）と符号付き整数の範囲（−2ⁿ⁻¹ 〜 2ⁿ⁻¹ − 1）の違いも押さえておきましょう。